Question

17．（1）请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明：
如图①，如果AB∥CD，求证：∠APC=∠A+∠C．
证明：过P作PM∥AB．
∴∠A=∠APM，（两直线平行，内错角相等）
∵PM∥AB，AB∥CD（已知）
∴PM∥CD，（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠C=∠CPM（两直线平行，内错角相等）
∵∠APC=∠APM+∠CPM，
∴∠APC=∠A+∠C（等量代换）
（2）如图②，AB∥CD，直接写出∠A+∠P+∠Q+∠C=540°．
（3）如图③，AB∥CD，若∠ABP=x，∠BPQ=y，∠PQC=z，∠QCD=m，你能用x，y，z表示m的大小吗？试说明理由．

Answer 1

分析 （1）过P作PM∥AB，求出PM∥AB∥CD，根据平行线的性质得出∠A=∠APM，∠C=∠CPM，即可得出答案；
（2）根据平行线的性质得出即可；
（3）过P作PM∥AB，过Q作QN∥AB，求出AB∥PM∥QN∥CD，根据平行线的性质得出∠ABP=∠BPM=x，∠C=∠CQN，∠QPM=∠PQN，即可求出答案．

解答 解：（1）证明：过P作PM∥AB，
∴∠A=∠APM，（两直线平行，内错角相等），
∵PM∥AB，AB∥CD（已知），
∴PM∥CD，（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C=∠CPM（ 两直线平行，内错角相等），
∵∠APC=∠APM+∠CPM，
∴∠APC=∠A+∠C（等量代换），
故答案为：两直线平行，内错角相等，平行于同一直线的两直线平行，∠CPM，两直线平行，内错角相等；

（2）∠A+∠P+∠Q+∠C=540°，
故答案为：540°；

（3）m=x+z-y，
理由是：如图③，过P作PM∥AB，过Q作QN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PM∥QN∥CD，
∴∠ABP=∠BPM=x，∠C=∠CQN，∠QPM=∠PQN，
∴∠C=∠CPQ-∠NPQ=∠CPQ-∠QPM=∠CQP-（∠BPQ-∠B）=z-（y-x）=x+z-y．

点评 本题考查了平行线的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键．