Question

如图，线段AC、BD为四边形ABCD对角线．已知，∠ABC=∠ADC=90°，AD=DC，tan∠ACB=

5

7

，BD=6，则CD的长为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,解直角三角形

专题：

分析：延长BC到E，使CE=AB，连接DE，易证∠BAD=∠DCE，即可证明△DAB≌△DCE，可得∠ADB=∠CDE，BD=DE，即可求证△BDE为等腰直角三角形，即可求得BE的长，再根据tan∠ACB的值可以求得AB，BC的长，即可求得AC的长，即可求得CD的长，即可解题．

解答：解：延长BC到E，使CE=AB，连接DE，

∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠DCE，
∵在△DAB和△DCE中，

AB=CE ∠BAD=∠DCE AD=DC

，
∴△DAB≌△DCE，（SAS）
∴∠ADB=∠CDE，BD=DE=6，
∵∠ADB+∠BDC=∠ADC=90°，
∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=90°，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴BE=6

2

，
∵tan∠ACB=

AB

BC

=

CE

BC

=

5

7

，
∴BC=

7

12

BE=

7 2

2

，AB=CE=

5

12

BE=

5 2

2

，
∵AC²=AB²+BC²=37，
∴CD=

2

2

AC=

2

2

×

37

=

74

2

．
故答案为

74

2

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△DAB≌△DCE是解题的关键．