Question

已知⊙O的半径等于4cm，AB为⊙O的弦，其长为4

2

cm，则弦AB所对的圆周角的度数为

 

．

Answer 1

考点：垂径定理,圆周角定理,解直角三角形

专题：分类讨论

分析：连接OA、OB，∠ACB与∠ADB为弦所对的圆周角作OH⊥AB于H，根据垂径定理得AH=

1

2

AB=2

2

，在Rt△OAH中利用勾股定理计算出OH=2

2

，于是可判断△OAH为等腰直角三角形，得到∠AOH=45°，则∠AOB=90°，根据圆周角定理得∠ACB=

1

2

∠AOB=45°，根据圆内接四边形性质得∠ADB=135°．

解答：解：连接OA、OB，∠ACB与∠ADB为弦所对的圆周角，作OH⊥AB于H，
则AH=BH=

1

2

AB=2

2

，
在Rt△OAH中，∵OA=4，AH=2

2

，
∴OH=

OA2-AH2

=2

2

，
∴△OAH为等腰直角三角形，
∴∠AOH=45°，
∴∠AOB=90°，
∴∠ACB=

1

2

∠AOB=45°，
∴∠ADB=180°-∠ACB=135°，
即弦AB所对的圆周角的度数为45°或135°．
故答案为45°或135°．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．