Question

抛物线y=ax²+bx-3经过点A、B、C，其中A（-3，0），B（1，0）． 

（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图，P为线段AC上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点D，交x轴于点F：
①当△ADC的面积最大时，求点P的坐标；
②设M（m，0）是x轴上一动点，点N是线段DF上一点，当△ADC的面积最大时，若∠MNC=90°，请求出实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由y=ax²+bx-3经过点A（-3，0），B（1，0）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（2）首先令x=0，求得点C的坐标，然后设直线BC的解析式为y=kx+b′，由待定系数法求得直线BC的解析式为y=-x+3，再设P（a，3-a），即可得D（a，-a²+2a+3），求出PD的长，由S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB，得到S_△BDC=-

3

2

（a-

3

2

）²+

27

8

，利用二次函数的性质，即可求得当△BDC的面积最大时，点P的坐标；
（3）将x=

3

2

代入抛物线解析式y=-x²+2x+3求出点P的纵坐标，过点C作CG⊥DF，然后分①点N在DG上时，点N与点D重合时，点M的横坐标最大，然后根据勾股定理得出CD²+DM²=CM²，列出关于m的方程，解方程求出m的最大值；②点N在线段GF上时，设GN=x，然后表示出NF，根据同角的余角相等求出∠NCG=∠MNF，然后证明△NCG和△MNF相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式用x表示出MF，再根据二次函数的最值问题求出y的最大值，然后求出MO，从而得到点M的坐标，求出m的最小值．

解答：解：（1）由题意得：

9a-3b-3=0 a+b-3=0

，
解得：

a=1 b=2

．
故抛物线解析式为y=x²+2x-3；

（2）令x=0，则y=-3，即C（0，-3）．
设直线AC的解析式为y=kx+b′，
则

-3k+b′=0 b′=-3

，解得：

k=-1 b′=-3

，
故直线AC的解析式为y=-x-3．
设P（a，-a-3），则D（a，a²+2a-3），
∴PD=（-a-3）-（a²+2a-3）=-a²-3a，
∴S_△ADC=S_△PDC+S_△PDA=

1

2

PD•（-a）+

1

2

PD•（a+3）=

1

2

PD•3=

3

2

（-a²-3a）=-

3

2

（a+

3

2

）²+

27

8

，
∴当a=-

3

2

时，△BDC的面积最大，此时P（-

3

2

，-

3

2

）；

（3）将x=-

3

2

代入y=x²+2x-3，得y=（-

3

2

）²+2×（-

3

2

）-3=-

15

4

，
∴点D的坐标为（-

3

2

，-

15

4

）．
如图，过点C作CG⊥DF，则CG=

3

2

．
①点N在DG上时，点N与点D重合时，点M的横坐标最小．
∵∠MNC=90°，∴CD²+DM²=CM²，
∵C（0，-3），D（-

3

2

，-

15

4

），M（m，0），
∴（0+

3

2

）²+（-

15

4

+3）²+（m+

3

2

）²+（0+

15

4

）²=（m-0）²+（0+3）²，
解得m=-

27

8

．
∴点M的坐标为（ 0，0），
即m的最小值为-

27

8

；
②点N在线段GF上时，设GN=x，则NF=3-x，
∵∠MNC=90°，
∴∠CNG+∠MNF=90°，
又∵∠CNG+∠NCG=90°，
∴∠NCG=∠MNF，
又∵∠NGC=∠MFN=90°，
∴Rt△NCG∽△MNF，
∴

CG

NF

=

GN

MF

，即

3 2

3-x

=

x

MF

，
整理得，MF=-

2

3

x²+2x=-

2

3

（x-

3

2

）²+

3

2

，
∴当x=

3

2

时（N与P重合），MF有最大值

3

2

，
此时M与O重合，
∴M的坐标为（0，0），
∴m的最大值为0，
故实数m的变化范围为-

27

8

≤m≤0．

点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式、三角形的面积、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、勾股定理等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．