题目内容
在△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB、BC为边向外作正方形ADEB和正方形BCFH．
（1）当BC=a时，正方形BCFH的周长= （用含a的代数式表示）；
（2）连接CE．试说明：三角形BEC的面积等于正方形BCFH面积的一半．
（3）已知AC=BC=1，且点P是线段DE上的动点，点Q是线段BC上的动点，当P点和Q点在移动过程中，△APQ的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
（1）当BC=a时，正方形BCFH的周长=
（2）连接CE．试说明：三角形BEC的面积等于正方形BCFH面积的一半．
（3）已知AC=BC=1，且点P是线段DE上的动点，点Q是线段BC上的动点，当P点和Q点在移动过程中，△APQ的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
考点：四边形综合题
专题：
分析：（1）直接由正方形的性质得出答案即可；
（2）连接AH，证明△BHA≌△BCE，利用△BHA的面积=△BCE的面积得出结论；
（3）作点A关于DE的对称点A′，点A关于BC的对称点F，利用对称的性质得出△APQ的周长的最小值为A′F，进一步求得问题即可．
（2）连接AH，证明△BHA≌△BCE，利用△BHA的面积=△BCE的面积得出结论；
（3）作点A关于DE的对称点A′，点A关于BC的对称点F，利用对称的性质得出△APQ的周长的最小值为A′F，进一步求得问题即可．
解答：解：（1）4a；
（2）如图，
连接AH，
在△BHA和△BCE中，
∴△BHA≌△BCE（SAS），
∴△BHA的面积=△BCE的面积=
正方形BCFH的面积；
（3），△APQ的周长存在最小值．
如图，
作点A关于DE的对称点A′，
∴AP=A′P，
点A关于BC的对称点F，
AQ=QF，
∴△APQ的周长的最小值为A′F，
过A′作A′M⊥FA交FA的延长线于M，
△AA′M为等腰直角三角形，
AA′=2
，
∴MA=MA′=2，
∴MF=4，
A′F=
，
∴△APQ的周长的最小值为
．
（2）如图，
连接AH，
在△BHA和△BCE中，
|
∴△BHA≌△BCE（SAS），
∴△BHA的面积=△BCE的面积=
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| 2 |
（3），△APQ的周长存在最小值．
如图，
作点A关于DE的对称点A′，
∴AP=A′P，
点A关于BC的对称点F，
AQ=QF，
∴△APQ的周长的最小值为A′F，
过A′作A′M⊥FA交FA的延长线于M，
△AA′M为等腰直角三角形，
AA′=2
| 2 |
∴MA=MA′=2，
∴MF=4，
A′F=
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∴△APQ的周长的最小值为
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点评：此题综合考查正方形的性质，对称的性质，勾股定理的运用以及利用对称性求最短距离的问题，注意辅助线的作法．
练习册系列答案
相关题目
如图，已知△ABC是等边三角形，延长BA至E，延长BC至D，使AE=BD，求证：EC=ED．