Question

17．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3交x轴于A（-1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于点F．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图②，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；
（3）在（2）的条件下：试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°．若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）先求出点F（4，3），在判断出△OCD≌△HDE，再做简单的计算即可；
（3）先求出E（4，1），再根据直线之间的关系用待定系数法依次求出，直线CE解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3，直线DG₂的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3，即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3交x轴于A（-1，0），B（5，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{25a+5b+3=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{5}}\\{b=\frac{12}{5}}\end{array}\right.$，
∴抛物线y=-$\frac{3}{5}$x²+$\frac{12}{5}$x+3，
（2）∵点F恰好在抛物线上，C（0，3），
∴F的纵坐标为3，
把y=3代入y=-$\frac{3}{5}$x²+$\frac{12}{5}$x+3，得3=-$\frac{3}{5}$x²+$\frac{12}{5}$x+3，
∴x=0，或x=4，
∴F（4，3），
∴OH=4，
∵∠CDE=90°，
∴∠ODC+∠HDC=90°，
∴∠OCD=∠HDE，
在△OCD和△HDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OCD=∠HDE}\\{∠COD=DHE}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△HDE，
∴DH=OC=3，
∴OD=4-3=1；
（3）存在，如图，

连接CE，
∵CD=DE，∠CDE=90°，
∴∠CED=45°，
过点D作DG₁∥CE，过点D作DG₂⊥CE，
∴∠EDG₁=45°，∠EDG₂=45°，
∵EH=OD=1，OH=4，
∴E（4，1），
∵C（0，3），
∴直线CE解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3，
设直线DG₂的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+m，
∵D（1，0），
∴0=-$\frac{1}{2}$×1+m，
∴m=$\frac{1}{2}$，
∴直线DG₂的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3，
当x=4时，y=-$\frac{1}{2}$×4×+$\frac{1}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
∴G₁（4，-$\frac{3}{2}$），
设直线DG₁的解析式为y=2x+n，
∵D（1，0），
∴0=2×1+n，
∴n=-2，
∴直线DG₁的解析式为y=2x-2．
当x=4时，y=6，
∴G₂（4，6）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了用待定系数法求抛物线，直线解析式，三角形全等的判定和性质，解本题的关键是寻找出直线之间的关系来确定直线解析式．