Question

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的平分线，点O在AC上，⊙O经过B，D两点，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB=6，sin∠BAC=$\frac{2}{3}$，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）连接DO，由等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠1=∠3，证出DO∥BC，由平行线的性质得出∠ADO=90°，即可得出结论；
（2）设⊙O的半径为R，由三角函数求出BC，由平行线得出△AOD∽△ABC，得出对应边成比例，求出半径OD，过O作OF⊥BC于F，则BE=2BF，如图所示：则OF∥AC，由平行线的性质得出∠BOF=∠BAC，由三角函数求出BF，即可得出结果．

解答 （1）证明：连接DO，如图1所示
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠1=∠2，
∵OB=OD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴DO∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠ADO=90°，
即AC⊥OD，
∴AC是⊙O的切线．
（2）解：设⊙O的半径为R，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sin∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{2}{3}$，
∴BC=$\frac{2}{3}$×6=4，
由（1）知，OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴$\frac{OD}{BC}=\frac{AO}{AB}$，
∴$\frac{R}{4}=\frac{6-R}{6}$，
解得：R=2.4，过O作OF⊥BC于F，如图所示：
则BE=2BF，OF∥AC，
∴∠BOF=∠BAC，
∴$\frac{BF}{OB}$=sin∠BOF=$\frac{2}{3}$，
∴BF=$\frac{2}{3}$×2.4=1.6，
∴BE=2BF=3.2．

点评 本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要证明相似三角形求出半径才能得出结果．