Question

如图，在锐角△ABC中，BC=12，△ABC的面积为48，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG．
（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；
（2）设DE=x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值．
（3）若tanB=4，连接FC，将△EFC沿直线EF翻折，点C的对称点为P点，求点P落在正方形DEFG内部时的x的取值范围．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）如图1，过点A作BC边上的高AM，交DE于N，垂足为M．利用面积法求得AM=8；由相似三角形△ADE∽△ABC的对应边成比例、图中的相关线段间的和差关系得到

DE

12

=

8-DE

8

，易求DE=4.8；
（2）分两种情况：①当正方形DEFG在△ABC的内部时，②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，依据平行线以及正方形的性质，可得二次函数，再根据二次函数的性质，解可得重合部分的面积，比较可得面积的最大值；
（3）分类讨论：①当正方形DEFG的GF边在BC上时，可求得GF=4.8，BG=1.2，FC=6，显然点P不在正方形DEFG内部．
②随着边长的增大，正方形与BC相交，正方形与△ABC重叠部分为一个矩形．设DG与BC交于Q，EF与BC交于T，ET=y，由相似三角形△CTE∽△CMA、△ADE∽△ABC的对应边成比例得到：y=

24-2x

3

，由图形知CT＜QT，即

5

4

y＜x，然后结合图形和该不等式来求x的取值范围．

解答：解：（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图1，过点A作BC边上的高AM，交DE于N，垂足为M．
∵S_△ABC=48，BC=12，
∴AM=8
∵DE∥BC，△ADE∽△ABC
∴

DE

BC

=

AN

AM

而AN=AM-MN=AM-DE
∴

DE

12

=

8-DE

8

解之得 DE=4.8
∴当正方形DEFG的边GF在BC上时，正方形DEFG的边长为4.8．

（2）分两种情况：
①如图2，当正方形DEFG在△ABC的内部时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积．
∵DE=x，
∴y=x²，此时x的范围是0＜x≤4.8．

②如图3，当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，设DG与BC交于点Q，EF与BC交于点T，△ABC的高AM交DE于N，
∵DE=x，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC
即

DE

BC

=

AN

AM

而AN=AM-MN=AM-ET
∴

x

12

=

8-ET

8

解得 ET=8-

2

3

x
所以y=x（8-

2

3

x）
即y=-

2

3

x²+8x
由题意，x＞4.8，x＜12，
∴4.8＜x＜12
∴△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y=

x2(0＜x≤4.8) - 2 3 x2+8x(4.8＜x＜12)

当0＜x≤4.8时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.8²=23.04 
当4.8＜x＜12时，∴y=-

2

3

x²+8x，
∴当x=-

8

2×(- 2 3 )

=6时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为

4×(- 2 3 )×0-82

4×(- 2 3 )

=24
∵24＞23.04，
∴△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24．

（3）AM⊥BC于M，可得AM=8
∵tanB=4，
∴BM=2，
∴CM=10
①当正方形DEFG的GF边在BC上时，可求得GF=4.8，BG=1.2，FC=6，显然点P不在正方形DEFG内部．
②随着边长的增大，正方形与BC相交，正方形与△ABC重叠部分为一个矩形．
设DG与BC交于Q，EF与BC交于T，ET=y，
∵△CTE∽△CMA
∴

y

8

=

CT

10

，
∴CT=

5

4

y
∵△ADE∽△ABC
∴

8-y

8

=

x

12

，
∴y=

24-2x

3

，
∵点P在正方形内，
∴CT＜QT，即

5

4

y＜x
∴

5

4

•

24-2x

3

＜x
∴x＞

60

11

，
又x＜12
∴点P落在正方形DEFG内部时的x的取值范围是

60

11

＜x＜12．

点评：本题主要考查了二次函数，平行线以及正方形的性质等知识点，要根据题意，得到二次函数关系，再根据二次函数的性质，即可得答案．