Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=12cm，点P是AB边上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，当PB=

 

时，四边形PECF的面积最大，最大值为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值

专题：

分析：利用锐角三角函数关系表示出PE，BE的长，进而利用矩形面积求法以及二次函数最值求法得出即可．

解答：解：设PB=xcm，
∵∠C=90°，∠B=30°，AB=12cm，
∴BC=AB×cos30°=6

3

（cm），PE=

1

2

xcm，BE=

3

2

xcm，
则EC=（6

3

-

3

2

x）cm，
故四边形FCEP的面积为：
PE×EC=

1

2

x×（6

3

-

3

2

x）
=-

3

4

x²+3

3

x
=-

3

4

（x²-12x）
=-

3

4

（x-6）²+9

3

故当x=6时，四边形PECF的面积最大，最大值为9

3

．
故答案为：6，9

3

．

点评：此题主要考查了矩形的面积公式以及锐角三角函数关系，得出矩形面积与x的函数关系是解题关键．