Question

7．如图1，线段AB与线段CD的中点重合，根据“边角边”可以得到△ACO≌△BDO，进一步可以得到对应的边相等，对应的角相等．
（1）问题探究：
①如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E为BC的中点，∠BAE=∠EAD，试探究AB与AD、CD之间的等量关系，并证明你的结论；
②如图3，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，点E是BC的中点，且∠BAE=∠EDF，CF∥AB，试探究AB与DE、CF之间的等量关系，并证明你的结论；
（2）拓展延伸
①如图4，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC=1：2，∠BAE=∠EDF，CF∥AB，试探究AB与DF、CF之间的等量关系，并证明你的结论：
②如图所示，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC=1：n，∠BAE=∠EDF，CF∥AB，直接写出AB与DF、CF之间的等量关系．

Answer 1

分析 （1）①结论：AD=AB+CD．如图2中延长AE、DC交于点F，只要证明△ABE≌△FCE以及DA=DF即可．
结论DF=AB-CF，如图3中延长DE、CF交于点G，只要证明△ABE≌△GCE，以及DF=FG即可．
（2）①结论：DF=2•AB-CF，如图4中，延长DE、CF交于点G，只要证明△ABE∽△GCE以及DF=FG；
②结论：DF=n•AB-CF证明方法类似①．

解答 解：（1）①结论：AD=AB+CD．理由如下，
如图2中，延长AE、DC交于点F．
∵AB∥CF，
∴∠B=∠ECF，
在△ABE和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ECF}\\{BE=EC}\\{∠AEB=∠FEC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FCE，
∴AB=CF，∠BAE=∠F=∠DAF
∴DA=DF，
∴AD=DC+CF=CD+AB．
②结论：DF=AB-CF，理由如下，
如图3中，延长DE、CF交于点G．
∵AB∥CF，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△GCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{BE=EC}\\{∠AEB=∠GEC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△GCE，
∴AB=CG，∠BAE=∠G=∠GDF，
∴DF=FG，
∴DF=GC-CF=AB-AF．
（2）①结论：DF=2•AB-CF．理由如下，
如图4中，延长DE、CF交于点G，
∵AB∥GC，
∴△ABE∽△GCE，
∴$\frac{AB}{GC}$=$\frac{BE}{EC}$=$\frac{1}{2}$．∠BAE=∠G=∠GDF，
∴DF=FG，GC=2•AB，
∴DF=CG-CF=2•AB-CF．
②结论：DF=n•AB-CF．理由如下，
如图4中，延长DE、CF交于点G，
∵AB∥GC，
∴△ABE∽△GCE，
∴$\frac{AB}{GC}$=$\frac{BE}{EC}$=$\frac{1}{n}$．∠BAE=∠G=∠GDF，
∴DF=FG，GC=n•AB
∴DF=CG-CF=n•AB-CF．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是倍长中线添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．