Question

2．已知△ABC中，延长AB到E，使BE=AC，延长BC到F，使CF=AB，延长CA到D，使AD=BC，若得到的△DEF是等边三角形，求证：△ABC是等边三角形．

Answer 1

分析 延长EA到D′，使AD′=AD，延长DC到F，使CF′=CF，延长FB到E′，使BE′=BE，设BC=x，AC=y，AB=z，则BE=BE′=y，BF=x+z=BD′，∠EBF=∠E′BD′，证得△BEF≌△BE′D′，根据全等三角形的性质得到D′E′=EF，同理E′F′=DF，D′F′=DE，于是得到△DEF≌△D′E′F′，推出△D′E′F′是等边三角形，得到∠D′E′F′=∠DEF=60°，根据全等三角形的性质得到∠D′E′B=∠FEB，推出∠CE′F′=∠DEA，于是得到∠BAC=∠CEA+∠ADE=∠CDF+∠ADE=∠EDF=60°，同理∠ABC=∠BCA=60°，于是得到结论．

解答 证明：延长EA到D′，使AD′=AD，延长DC到F，使CF′=CF，延长FB到E′，使BE′=BE，
设BC=x，AC=y，AB=z，则BE=BE′=y，BF=x+z=BD′，∠EBF=∠E′BD′，
在△BEF与△BE′D′中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BE′}\\{∠EBF=∠E′BD′}\\{BF=BD′}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△BE′D′，
∴D′E′=EF，
同理E′F′=DF，D′F′=DE，
在△DEF与△D′E′F′中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=D′F′}\\{DF=E′F′}\\{EF=D′E′}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△D′E′F′，
∴△D′E′F′是等边三角形，
∴∠D′E′F′=∠DEF=60°，
∵△BEF≌△BE′D′，
∴∠D′E′B=∠FEB，
∴∠D′E′F′-∠D′E′B=∠DEF-∠FEB，
即∠CE′F′=∠DEA，
∵△CE′F′≌△CDF，
∴∠CE′F′=∠CDF，∠DEA=∠CDF，
∴∠BAC=∠CEA+∠ADE=∠CDF+∠ADE=∠EDF=60°，
同理∠ABC=∠BCA=60°，
∴△ABC是等边三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．