Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，点D为AC边上一点，且AD=3cm，动点E从点A出发沿线段AB向终点B运动．作∠DEF=45°，与边BC相交于点F．
（1）找出图中的一对相似三角形，并说明理由；
（2）当△BEF为等腰三角形时，求AE的长；
（3）求动点E从点A出发沿线段AB向终点B运动的过程中点F的运动路线长．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠B=45°由三角形的外角性质和已知条件证出∠ADE=∠BEF，即可得出结论；
（2）分三种情况：①若EF=BF，由相似三角形的性质和勾股定理求出AE=DE=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$即可；
②若EF=BE，由相似三角形的性质和勾股定理求出AE即可；
③若BF=BE，则∠FEB=∠EFB，由△ADE∽△BEF得出AE=AD=3即可．
（3）由（1）得出△ADE∽△BEF，得到$\frac{AD}{BE}$=$\frac{AE}{BF}$，得出y是x的二次函数，即可得出结果．

解答 解：（1）△ADE∽△BEF，理由如下：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠DEB=∠A+∠ADE=∠DEF+∠BEF，∠DEF=45°，
∴∠ADE=∠BEF，
∴△ADE∽△BEF；
（2）分三种情况
①如图1，若EF=BF，则∠B=∠BEF，
又∵△ADE∽△BEF，
∴∠A=∠ADE=45°，
∴∠AED=90°，
∴AE=DE=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$；
②如图2，若EF=BE，则∠B=∠EFB
又∵△ADE∽△BEF，
∴∠A=∠AED=45°，
∴∠ADE=90°，
∴AE=3$\sqrt{2}$；
③如图3，若BF=BE，则∠FEB=∠EFB
又∵△ADE∽△BEF，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD=3．
综上所述，当△BEF为等腰三角形时，AE的长为$\frac{3}{2}\sqrt{2}$或3$\sqrt{2}$或3．
（3）设AE=xcm，BF长为ycm．
∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4．
∴∠A=∠B=45°，AB=4$\sqrt{2}$，
由（1）得：△ADE∽△BEF，
∴$\frac{AD}{BE}$=$\frac{AE}{BF}$，
∴$\frac{3}{4\sqrt{2}-x}$=$\frac{x}{y}$
∴y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}\sqrt{2}$x，
∴y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}\sqrt{2}$x=-$\frac{1}{3}$（x-2$\sqrt{2}$）²+$\frac{8}{3}$，
∴当x=2$\sqrt{2}$时，y有最大值=$\frac{8}{3}$，
当E到达AB中点时，F距离B最远；当E越过A运动，最终和B重合（严格说无限接近B），
∴F的路线是一来一回，即BF的最大值的2倍，
∴点F运动路程为2×$\frac{8}{3}$cm=$\frac{16}{3}$cm．

点评 本题主要考查了二次函数的最值，相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，灵活运用性质进行计算是解此题的关键，用的数学思想是分类讨论思想．