Question

6．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，点A关于BE的对称点为G（G在矩形ABCD内部），连接BG并延长交CD于F．
（1）如图1，当AB=AD时，
①根据题意将图1补全；
②直接写出DF和GF之间的数量关系．
（2）如图2，当AB≠AD时，如果点F恰好为DC的中点，求$\frac{AD}{AB}$的值．
（3）如图3，当AB≠AD时，如果DC=nDF，写出求$\frac{AD}{AB}$的值的思路（不必写出计算结果）．

Answer 1

分析 解：（1）①根据题意作出图形即可；
②连接EG，EF，根据矩形的性质得到∠BAD=∠D=90°，由点A关于BE的对称点为G，得到AE=EG，由E是AD的中点，等量代换得到DE=EG，推出Rt△DEF≌Rt△GEF，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）如图2，连接EF，EG，由四边形ABCD是矩形，得到∠A=∠D=∠C=90°，由点A关于BE的对称点为G，得到EG=AE，∠EGB=∠EGF=∠A=∠D=90°，推出Rt△EGF≌Rt△EDF，根据全等三角形的性质得到GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y，根据勾股定理列方程得到y=2$\sqrt{2}$x，于是得到结论；
（3）根据题意写出解题思路即可．

解答 解：（1）①如图1；
②连接EG，EF，
在矩形ABCD中，
∵∠BAD=∠D=90°，
∵点A关于BE的对称点为G，
∴AE=EG，
∵E是AD的中点，
∴A=DE，
∴DE=EG，
在Rt△DEF与Rt△GEF中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=GE}\\{EF=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△DEF≌Rt△GEF，
∴DF=GF；

（2）如图2，连接EF，EG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠C=90°，
∵E是AD的中点，
∴AE=ED=$\frac{1}{2}$AD，
∵点A关于BE的对称点为G，
∴EG=AE，∠EGB=∠EGF=∠A=∠D=90°，
∴EG=ED，∠EGF=∠D=90°，
∵EF=EF，
在Rt△DEF与Rt△GEF中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=GE}\\{EF=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴GF=DF，
设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y，
∵F是DC的中点，
∴DC=2DF，
∴CF=x，DC=AB=BG=2x，
∴BF=BG+GF=3x，
在Rt△BCF中，∠C=90°，
由勾股定理得BC²+CF²=BF²，
即y²+x²=（3x）²，
∴y=2$\sqrt{2}$x，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{2\sqrt{2}x}{2x}$=$\sqrt{2}$；

（3）求$\frac{AD}{AB}$的值的思路如下：
a．如图3，连接EF和EG，由（2）可知GF=DF；
b设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y，由DC=nDF，可用含有n和x的代数式表示BF；
c．利用勾股定理，用含有n和x的代数式表示y；
d计算出结果（$\frac{2\sqrt{n}}{n}$）．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，矩形的性质，证得Rt△EGF≌Rt△EDF是解题的关键．