Question

13．设a为有理数，x为无理数，证明：（1）a+x是无理数；（2）当a≠0时，ax是无理数．

Answer 1

分析 利用反证法，结合任何有理数都可以表示成$\frac{q}{p}$的形式（p，q都是整数），反过来也一样，任何形如$\frac{q}{p}$（p，q都是整数）的数都是有理数，即可证明结论．

解答 证明：（1）任何有理数都可以表示成$\frac{q}{p}$的形式（p，q都是整数），反过来也一样，任何形如$\frac{q}{p}$（p，q都是整数）的数都是有理数，
∵a为有理数，
∴a=$\frac{q}{p}$．
如果a+x是有理数，那么a+x=$\frac{q′}{p′}$，x=$\frac{q′}{p′}$-a=$\frac{q′}{p′}$-$\frac{q}{p}$=$\frac{pq′-qp′}{pp′}$，
那么x是有理数，这与x为无理数矛盾，
所以a+x为无理数；

（2）如果ax是有理数，那么ax=$\frac{q′}{p′}$，x=$\frac{pq′}{qp′}$
所以x是有理数，这与x为无理数矛盾，
所以当a≠0时，ax为无理数．

点评 本题考查了反证法，考查学生分析解决问题的能力，正确运用反证法是关键．