Question

14．已知：AB∥DF，它们之间的距离等于AB；AC∥DE，它们之间的距离等于AC；CB∥EF，它们之间的距离等于BC，求证：A₁、B₁、C₁、A₂、B₂、C₂六点共圆．

Answer 1

分析 利用三角形的面积的计算得出$\frac{A{A}_{1}}{AB}=\frac{A{A}_{2}}{AC}$，从而判断出△A₁AA₂∽△BAC，得出点A₁，B₂，C₂，A₂四点共圆，用同样的方法判断出∠AB₂B₁=∠ACB，得到四边形A₁B₁B₂A₂是等腰梯形，即：点A₁，B₁，B₂，A₂四点共圆，进而得到点B₁在⊙O上，同理判断出点C₁在⊙O上，结论得证．

解答 证明：如图，过点A₁作A₁F⊥AB，过点A₂作A₂G⊥AC，
∴A₁F=AB，A₂G=AC
∵S_△AA1A2=$\frac{1}{2}$AA₁×A₂G=$\frac{1}{2}$AA₂×A₁F，
∴AA₁×AC=AA₂×AB，
∴$\frac{A{A}_{1}}{AB}=\frac{A{A}_{2}}{AC}$，
∵∠A₁AA₂=∠BAC
∴△A₁AA₂∽△BAC，
∴∠A₂A₁A=∠ABC，∠A₁A₂A=∠ACB
∵BC∥EF
∴∠AB₂E=∠ABC，
∴∠A₂A₁A=∠AB₂E，
∴点A₁，B₂，C₂，A₂四点共圆，
设点A₁，B₂，A₂确定的圆的圆心为O，
∴OA₁=OB₂=OA₂=OC₂
同理：∠AB₂B₁=∠ACB，
∴∠A₁A₂A=∠AB₂B₁，
∵AB∥DF，
∴四边形A₁B₁B₂A₂是等腰梯形，
∴点A₁，B₁，B₂，A₂四点共圆，
∴点B₁在⊙O上，
同理：点C₁也在⊙O上，
∴A₁、B₁、C₁、A₂、B₂、C₂六点共圆．

点评 此题是四点共圆题目，主要考查了三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，四点共圆的方法，判断出点A₁，B₂，C₂，A₂四点共圆是解本题的关键，得出四边形A₁B₁B₂A₂是等腰梯形是解本题的难点．