Question

3．如图，正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、CD上的点，且∠CFE=60°，将四边形BCFE沿EF翻折，得到B′C′FE，C′恰好落在AD边上，B′C′交AB于点G，则GE的长是（　　）

• A． 3$\sqrt{3}$-4
• B． 4$\sqrt{2}$-5
• C． 4-2$\sqrt{3}$
• D． 5-2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=AD=3，由折叠的性质得出FC′=FC，∠C′FE=∠CFE=60°，∠FC′B′=∠C=90°，B′E=BE，∠B′=∠B=90°，求出∠DC′F=30°，得出FC′=FC=2DF，求出DF=1，DC′=$\sqrt{3}$DF=$\sqrt{3}$，则C′A=3-$\sqrt{3}$，AG=$\sqrt{3}$（3-$\sqrt{3}$），设EB=x，则GE=2x，得出方程，解方程即可．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=AD=3，
由折叠的性质得：FC′=FC，∠C′FE=∠CFE=60°，∠FC′B′=∠C=90°，B′E=BE，∠B′=∠B=90°，
∴∠DFC′=60°，
∴∠DC′F=30°，
∴FC′=FC=2DF，
∵DF+CF=CD=3，
∴DF+2DF=3，
解得：DF=1，
∴DC′=$\sqrt{3}$DF=$\sqrt{3}$，
则C′A=3-$\sqrt{3}$，AG=$\sqrt{3}$（3-$\sqrt{3}$），
设EB=x，
∵∠B′GE=∠AGC′=∠DC′F=30°，
∴GE=2x，
则$\sqrt{3}$（3-$\sqrt{3}$）+3x=3，
解得：x=2-$\sqrt{3}$，
∴GE=4-2$\sqrt{3}$；
故选：C．

点评 本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握翻折变换和正方形的性质，根据题意得出方程是解决问题的关键．