Question

13．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B，D重合，已知AB=3，AD=4，则
①DE=DF；②DF=EF；③△DCF≌△DGE；④EF=$\frac{15}{4}$．
上面结论正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 如图作EM⊥BC于M，首先证明△DEG≌△DFC，由此可以判断①③正确．设DF=FB=x，则CF=4-x，在RT△DCF中，根据DF²=CD²+CF²，列出方程求出x，在RT△EMF中求出EM，MF利用勾股定理即可求出EF，即可判断④正确．②错误，可以用反证法证明．

解答 解；如图作EM⊥BC于M．

∵四边形ABCD是矩形，四边形EFDG是由四边形ABEF翻折，
∴∠ADC=∠GDF=∠C=∠G=90°，DC=DG=AB=3，AD=BC=4
∴∠EDG=∠CDF，
在△DEG和△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠C}\\{DG=DC}\\{∠EDG=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△DEG≌△DFC．故③正确，
∴DE=DF，故①正确，
设DF=FB=x，则CF=4-x，
在RT△DCF中，∵DF²=CD²+CF²，
∴x²=（4-x）²+3²，
∴x=$\frac{25}{8}$，
∴DE=DF=$\frac{25}{8}$，
∵四边形AEMB是矩形，
∴AE=BM=$\frac{7}{8}$，ME=AB=3，
∴MF=BC-BM-CF=4-$\frac{7}{8}$-（4-$\frac{25}{8}$）=$\frac{9}{4}$，
在RT△EFM中，EF=$\sqrt{E{M}^{2}+M{F}^{2}}$=$\frac{15}{4}$．故④正确，
②错误．假设DF=EF，∵DE=DF，
∴EF=DE=DF，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠DFE=60°，
∴∠BFE=∠DFE=∠DFC=60°，
这显然不可能，假设不成立，故②错误．
故正确的有3个，选C

点评 本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．