Question

16．如图，△ABC中，∠BAC=96°，延长BC到点D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A₁，则∠A₁的大小是48°，∠A₁BC和∠A₁CD的平分线相交于点A₂，依此类推，∠A₂₀₁₂BC和∠A₂₀₁₂CD的平分线交于点A₂₀₁₃，则∠A₂₀₁₃的大小是$\frac{96°}{{2}^{2013}}$．

Answer 1

分析 由∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A₁B、A₁C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A₁CD，∠ABC=2∠A₁BC，于是有∠A=2∠A₁，同理可得∠A₁=2∠A₂，即∠A=2²∠A₂，据此找出规律即可．

解答 解：∵A₁B、A₁C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠A₁CD，∠ABC=2∠A₁BC，
而∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，∠ACD=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠A₁=96°，
∴∠A₁=48°，
同理可得∠A₁=2∠A₂，
即∠A=2²∠A₂=96°，
∴∠A₂=24°，
∴∠A=2ⁿ∠A_n，
∴∠An=$\frac{96°}{{2}^{n}}$，
∴当n=2013时，∠A₂₀₁₃的大小是$\frac{96°}{{2}^{2013}}$．
故答案为：48°，$\frac{96°}{{2}^{2013}}$．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，外角性质以及角平分线性质．解题时注意：三角形的内角和为180°，三角形的三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．