Question

20．如图，抛物线y=$\frac{1}{4}$（x-4）²-4的顶点为P，M，N均在对称轴上，且PM=PN，延长OM交抛物线于点A，求证：∠ANM=∠ONM．

Answer 1

分析 过A作AH垂直于直线l，直线l与x轴交于点D，由A在二次函数图象上，设A横坐标为m，将x=m代入二次函数解析式，表示出纵坐标，确定出A的坐标，再由O的坐标，表示出直线AO的解析式，进而表示出M，N及H的坐标，得出OD，ND，HA，及NH，在直角三角形OND中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠ONM，在直角三角形ANH中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠ANM，化简后得到tan∠ONM=tan∠ANM，可得出∠ONM=∠ANM，得证．

解答 证明：过A作AH⊥l于H，l与x轴交于点D，如图所示：
设A（m，$\frac{1}{4}$m²-2m），又O（0，0），
∴直线AO的解析式为y=$\frac{\frac{1}{4}{m}^{2}-2m}{m}$x=（$\frac{1}{4}$m-2）x，
则M（4，m-8），N（4，-m），H（4，$\frac{1}{4}$m²-2m），
∴OD=4，ND=m，HA=m-4，NH=ND-HD=$\frac{1}{4}$m²-m，
在Rt△OND中，tan∠ONM=$\frac{OD}{DN}$=$\frac{4}{m}$，
在Rt△ANH中，tan∠ANM=$\frac{HA}{HN}$=$\frac{m-4}{\frac{1}{4}{m}^{2}-m}$=$\frac{4（m-4）}{m（m-4）}$=$\frac{4}{m}$，
∴tan∠ONM=tan∠ANM，
∴∠ANM=∠ONM．

点评 本题考查了两点坐标确定一次函数解析式，锐角三角函数定义，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，是一道综合性的题目，难度中等．