Question

6．如图，△ABO在直角坐标系中放置，A，B点坐标分别为（-2，4）和（-5，0），半径为2的⊙C与x轴相切于点B，与AB边交于点D．
（1）如图1，若BE为⊙C的直径，连接AE，试说明AE是⊙O的切线；
（2）如图2，若将⊙O向右平移，且⊙C始终与x轴相切，当切点为O时，点H为y轴右侧⊙C上一点，连接BH交⊙C于另一点G，问BG•BH是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，证明四边形EBFA是矩形可得：∠BEA=90°，则AE为⊙C的切线；
（2）如图2，证明△BGO∽△BOH，则$\frac{BG}{BO}=\frac{BO}{BH}$，所以BO²=BG•BH，代入可得结论．

解答 解：（1）如图1，过A作AF⊥x轴于F，
∵⊙C与x轴相切于点B，EB是⊙C的直径，
∴EB⊥BF，且EB=4，
∴EB∥AF，
∵A（-2，4），
∴AF=4，
∴AF=EB，
∴四边形EBFA是平行四边形，
∵BF为⊙C的切线，
∴∠EBF=90°，
∴?EBFA是矩形，
∴∠BEA=90°，
∴AE为⊙C的切线；
（2）如图2，连接OG、OH，
∵⊙C与x轴相切于O，
∴∠BOG=∠H，
∵∠GBO=∠HBO，
∴△BGO∽△BOH，
∴$\frac{BG}{BO}=\frac{BO}{BH}$，
∴BO²=BG•BH，
∵B（-5，0），
∴OB=5，
∴BG•BH=5×5=25，
即BG•BH为定值，这个定值是25．

点评 本题是圆的综合题，考查了切线的性质、三角形相似的性质和判定、矩形、平行四边形的性质和判定，难度适中，在证明圆的切线时，常运用两种方法：①有半径，证垂直；②有垂直，证半径．