Question

18．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分别交BC、BD于点E、F，若CE=2，连接CF．以下结论：①∠BAF=∠BCF；②点E到AB的距离是2$\sqrt{3}$；③S_△CDF：S_△BEF=9：4；④tan∠DCF=$\frac{3}{7}$．其中正确的有（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 证明△ABF≌△CBF，根据全等三角形的性质判断①，作EG⊥AB交AB的延长线于G，解直角三角形求出EG，判断②，根据三角形的面积公式、相似三角形的性质判断③，作FH⊥CD于H，根据正切的概念计算，判断④．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，∠ABD=∠CBD，
在△ABF和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠ABF=∠CBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBF，
∴∠BAF=∠BCF，①正确；
作EG⊥AB交AB的延长线于G，
∵AD∥BC，∠DAB=60°，
∴∠EBG=60°，
∴EG=EB×sin∠EGB=2$\sqrt{3}$，②正确；
∵AB=6，CE=2，
∴S_△BEF=2S_△CEF，
∵AD∥BC，
∴$\frac{DF}{FB}$=$\frac{AD}{BE}$=$\frac{3}{2}$，
∴S_△CFD=$\frac{3}{2}$S_△CFB，
∴S_△CDF：S_△BEF=9：4，③正确；
作FH⊥CD于H，
则DH=$\frac{1}{2}$DF=2，FH═2$\sqrt{3}$，
∴tan∠DCF=$\frac{CH}{CH}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，④错误，
故选：B．

点评 本题考查的是菱形的性质、解直角三角形的应用、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键．