Question

19．已知关于x的一元二次方程（x-1）（x-4）=p²，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）试说明，方程的根不可能是3．

Answer 1

分析 （1）首先把原方程转化为一般式，然后用p表示出根的判别式，最后利用非负数的性质作出判断；
（2）假设方程的根是3，得到一个数的平方是负数，进而作出判断．

解答 （1）证明：已知方程化为：
x²-5x+（4-p²）=0，
∴△=（-5）²-4×1×（4-p²）=4p²+9，
∵p为实数，
∴4p²+9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：若方程有一根为3，
则p²=（3-1）（3-4）=-2，
这与一个实数的平方根是非负数矛盾，
即原方程的根不可能是3．

点评 本题主要考查了跟的判别式的知识，解题的关键是掌握非负数的性质，此题难度不大．