Question

12．如图，AB为⊙O的直径，PA为⊙O的切线，PB交⊙O于点C，PD平分∠APB交AB于点D，交AC于点E．
（1）求证：AE=AD；
（2）若PE=3，DE=2，求cos∠PEC的值．

Answer 1

分析 （1）由切线的性质和直径所对的圆周角为90°得：∠PAB=∠ACB=90°，再由同角的余角相等和外角定理得：∠EDA=∠DEA，根据等角对等边得：AE=AD；
（2）作辅助线，利用同角的三角函数列式求AD的长，根据（1）中的结论：AD=AE，得：∠PEC=∠AED=∠ADF，根据三角函数定义可得结论．

解答 证明：（1）∵PA为⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴∠PAB=90°，∠ACB=90°
∴∠PAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°
∴∠PAC=∠B，
∵∠EDA=∠B+∠BPD，∠DEA=∠PAC+∠APD，
∵∠BPD=∠APD，
∴∠EDA=∠DEA，
∴AE=AD；

（2）过A作AF⊥ED于F，
∵AE=AD，
∴EF=FD=$\frac{1}{2}$ED=$\frac{1}{2}$×2=1，
∵∠AFD=∠PAD=90°，
∴cos∠ADF=$\frac{DF}{AD}$=$\frac{AD}{PD}$，
∴$\frac{1}{AD}=\frac{AD}{3+2}$，
∴AD=$±\sqrt{5}$，
∵AD＞0，
∴AD=-$\sqrt{5}$不符合题意，舍去，
∴AD=$\sqrt{5}$，
∵∠PEC=∠AED=∠ADF，
∴cos∠PEC=cos∠ADF=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质、三角函数的定义，熟练运用同角或等角的三角函数列式，求线段的长，或运用三角形相似解决问题．