题目内容
2．（1）问题：如图①，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD•BC=AP•BP．
（2）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ，上述结论是否依然成立？说明理由．
（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图③，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间为t秒，当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．
分析 （1）直接利用两角互余的性质得出∠PDA=∠CPB，进而得出△ADP∽△BPC，求出答案即可；
（2）利用∠DPC=∠A=∠B=θ，进而得出∠ADP=∠CPB，得出△ADP∽△BPC，求出答案即可；
（3）首先得出BC的长，再依据（1）（2）的结论AD•BC=AP•BP，进而得出t的值．
解答 解：（1）∵∠DPA+∠CPB=90°，∠DPA+∠ADP=90°，
∴∠PDA=∠CPB，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△ADP∽△BPC，
∴$\frac{AD}{BP}$=$\frac{AP}{BC}$，
∴AD•BC=AP•BP；
（2）结论：AD•BC=AP•BP仍然成立，
理由：∵∠ADP+∠APD=180°-θ，∠DPA+∠CPB=180°-θ，
∴∠ADP=∠CPB，
又∵∠A=∠B=θ，
∴△ADP∽△BPC，
∴$\frac{AD}{BP}$=$\frac{AP}{BC}$，
∴AD•BC=AP•BP；
（3）作DE⊥AB，当⊙D与AB相切时，半径r=DE=DC，
∵DE=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴DC=4，
∴BC=1，
依据（1）（2）的结论AD•BC=AP•BP，
∴5×1=t（6-t），
∴t2-6t+5=0，
解得：t1=1，t2=5，
∴点P运动时间为1s或5s．
点评 此题主要考查了圆的综合以及相似三角形的判定与性质，正确得出相似三角形是解题关键．
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