Question

已知．如图，P为△ABC中线AD上一点，AP：PD=2：1，延长BP、CP分别交AC、AB于E、F，EF交AD于Q．
（1）FQ=EQ； 
（2）FP：PC=EC：AE； 
（3）FQ：BD=PQ：PD；
（4）S_△FPQ：S_△DCP=S_△AEF：S_△ABC，
上述结论中，正确的有

 

（填上你认为正确的结论前的序号）．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：首先延长PD到M，使DM=PD，连接BM、CM，易得四边形BPCM是平行四边形，然后由平行线分线段成比例定理，证得AE：AC=AP：AM，AF：AB=AP：AM，继而证得EF∥BC；然后由相似三角形的性质，证得结论．

解答：解：延长PD到M，使DM=PD，连接BM、CM，
∵AD是中线，
∴BD=CD，
∴四边形BPCM是平行四边形，
∴BP∥MC，CP∥BM，
即PE∥MC，PF∥BM，
∴AE：AC=AP：AM，AF：AB=AP：AM，
∴AF：AB=AE：AC，
∴EF∥BC；
∴△AFQ∽△ABD，△AEQ∽△ACD，
∴FQ：BD=EQ：CD，
∴FQ=EQ，故（1）正确；
∵△△PEF∽△PBC，△AEF∽△ACB，
∴PF：PC=EF：BC，EF：BC=AE：AC，
∴PF：PC=AE：AC，故（2）错误；
∵△PFQ∽△PCD，
∴FQ：CD=PQ：PD，
∴FQ：BD=PQ：PD；故（3）正确；
∵S_△FPQ：S_△DCP=（

FQ

CD

）²=（

FQ

BD

）²=（

AF

AB

）²，S_△AEF：S_△ABC=（

AF

AB

）²，
∴S_△FPQ：S_△DCP=S_△AEF：S_△ABC．故（4）正确．
故答案为：（1）（3）（4）．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及平行四边形的性质与判定．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．