Question

19．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（x_A，2）在第二象限，AC⊥x轴于点C，△AOC的面积为$\sqrt{3}$，点B的坐标为（$\sqrt{3}$，0）．
（1）求AB的长及∠ABC的度数；
（2）以AB为一边作等边三角形ABP，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据A（x_A，2），AC⊥x轴于点C，得到AC=2，由△AOC的面积为$\sqrt{3}$，得到OC=$\sqrt{3}$，OB=$\sqrt{3}$，根据勾股定理得到AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=4；根据三角函数的定义得到结论；
（2）①当P在第一象限时，由于∠ABP=60°，∠ABC=30°，得到∠PBC=90°，推出PB⊥x轴，求得P（$\sqrt{3}$，4），②当P在第三象限时，由∠ABC=30°，∠ABP=60°，得到∠CBP=30°，得到AP′⊥x轴，求得P′（-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$）．

解答 解：（1）∵A（x_A，2），AC⊥x轴于点C，
∴AC=2，
∵△AOC的面积为$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$AC•OC=$\sqrt{3}$，
∴OC=$\sqrt{3}$，
∵点B的坐标为（$\sqrt{3}$，0），
∴OB=$\sqrt{3}$，
∴BC=2$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=4；
∵tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABC=30°；

（2）如图，∵AB为一边作等边三角形ABP，
∴P在AB的垂直平分线上，
∴点P在第一、三象限，
①当P在第一象限时，
∵∠ABP=60°，∠ABC=30°，
∴∠PBC=90°，
∴PB⊥x轴，
∴P（$\sqrt{3}$，4），
②当P在第三象限时，
∵∠ABC=30°，∠ABP=60°，
∴∠CBP=30°，
∵∠AP′B=60°，
∴AP′⊥x轴，
∴P′（-$\sqrt{3}$，-2）．

点评 本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形的性质，正确的作出图形是解题的关键．