Question

11．（1）如图①，你知道∠BOC=∠1+∠2+∠A的奥秘吗？请用你学过的知识予以证明； 
（2）如图②，设x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E，运用（1）中的结论填空．
x=180°；x=180°
（3）如图③，一个六角星，其中∠BOD=80°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

Answer 1

分析 （1）首先延长BO交AC于点D，可得∠BOC=∠BDC+∠2，然后根据∠BDC=∠A+∠1，判断出∠BOC=∠1+∠2+∠A即可．
（2）首先根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根据∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，据此解答即可．
首先延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G，然后根据外角的性质，可得∠GFC=∠D+∠E，∠FGC=∠A+∠B，再根据∠GFC+∠FGC+∠C=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，据此解答即可．
（3）根据∠BOD=80°，可得∠A+∠C+∠E=80°，∠B+∠D+∠F=80°，据此求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是多少即可．

解答 解：（1）如图①，延长BO交AC于点D，
∵∠BOC=∠BDC+∠2，
∠BDC=∠A+∠1，
∴∠BOC=∠1+∠2+∠A．
（2）如图②，
根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，
∵∠1+∠2+∠E=180°，
∴x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
如图②，延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G，
根据外角的性质，可得∠GFC=∠D+∠E，∠FGC=∠A+∠B，
∵∠GFC+∠FGC+∠C=180°，
∴x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
（3）如图③，∵∠BOD=80°，
∴∠A+∠C+∠E=∠BOD=80°，
∴∠B+∠D+∠F=∠BOD=80°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=80°+80°=160°．
故答案为：180°；180°．

点评 此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．此题还考查了三角形的外角的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．