Question

3．已知在平面直角坐标系中，点A（1，2），点B（4，1），点C（-3，-2）．
（1）在x轴上找一点D，使AD+BD最小，求点D坐标；
（2）在y轴上找一点E，使|AE-CE|最大，求点E坐标．

Answer 1

分析 （1）作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴的交点即为所求；
（2）连接AC与y轴的交点即为所求．

解答 解：如图所示：

（1）点A（1，2）关于x轴的对称点为A'（1，-2），连接A'B交x轴于点D，
设直线A'B的解析式为y=kx+b，
将A'和B点的坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-2=k+b}\\{1=4k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴A'B的解析式为y=x-3，
∴D点的坐标为（3，0）；
（2）∵|AE-CE|≤AC，当AEC三点共线时|AE-CE|最大，
∴连接AC交于点E，点E即为所求，
设AC的解析式为y=mx+n，
将A、C两点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{2=m+n}\\{-2=-3m+n}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴AC的解析式为y=x+1，
∴E点的坐标为（0，1）．

点评 本题主要考查了轴对称-最短路径问题、坐标与图形的性质，难度中等．熟悉“将军饮马”模型以及三角形三边关系是解答本题的关键所在．