Question

17．人工浮床又称人工浮岛，自20年前人类开发出第一个人工浮床之后，就将人工浮床应用于地表水体的污染治理和生态修复．近年来，我国的人工浮床技术开发及用于正好处于快速发展时期．如图所示，是我市在某湖面上为净化水质而搭建的一个水上圆形人工浮床示意图，其中圆和三块边长为16米的正方形是浮岛框架部分，被分割成的7部分将运用无土技术分别栽培7种不同的水生植物，正方形的顶点A、B、C、D都在圆上，且整个浮床成轴对称图形，求这个圆形人工浮床的半径．

Answer 1

分析 连接BD交EF于P，过P作PO⊥BD交HG于O，连接OB，根据全等三角形的性质得到PB=PE，由垂径定理得到点O为圆心，根据勾股定理得到BD=$\sqrt{3{2}^{2}+2{4}^{2}}$=40，得到PB=20，得到PH=4，根据相似三角形的性质得到HO=3，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：连接BD交EF于P，过P作PO⊥BD交HG于O，连接OB，
在△BEP与△PDQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠DQP}\\{∠EPB=∠EPQ}\\{BE=EQ}\end{array}\right.$，
∴△BEP≌△DQP，
∴PB=PD，
∴点O为圆心，
∵BD=$\sqrt{3{2}^{2}+2{4}^{2}}$=40，
∴PB=20，
∴PE=$\sqrt{P{B}^{2}-B{E}^{2}}$=12，
∴PH=4，
∵∠E=∠EHG=90°，
∴∠EBP+∠EPB=∠EPB+∠HPO=90°，
∴∠EPB=∠HPO，
∴△PBE∽△POH，
∴$\frac{PH}{BE}=\frac{HO}{PE}$，
∴HO=3，
∴OG=13，
∴OB=$\sqrt{B{G}^{2}+O{G}^{2}}$=5$\sqrt{17}$，
∴这个圆形人工浮床的半径为5$\sqrt{17}$米．

点评 本题考查了全等三角形的判断和性质，垂径定理的应用，轴对称图形的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．