Question

2．如图，抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过经过点A（2，0），点B（3，3），BC⊥x轴于点C，连接OB，等腰直角三角形DEF的斜边EF在x轴上，点E的坐标为（-4，0），点F与原点重合．
（1）求抛物线的解析式；
（2）△DEF以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t秒，当点D落在BC边上时停止运动，
①求点D落在抛物线上时点D的坐标；
②设△DEF与△OBC的重叠部分的面积为S，求出S关于t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系数法解出解析式；
（2）①首先由等腰直角三角形DEF的斜边EF在x轴上，点E的坐标为（-4，0），求得点D的纵坐标，再代入解析式，即可求得答案；
②从三种情况分析：（Ⅰ）当0≤t≤3时，△DEF与△OBC重叠部分为等腰直角三角形；（Ⅱ）当3＜t≤4时，△DEF与△OBC重叠部分是四边形；（Ⅲ）当4＜t≤5时，△DEF与△OBC重叠部分是四边形得出S关于t的函数关系式即可．

解答 解：（1）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{0=4a+2b}\\{3=9a+3b}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=-2，
故抛物线解析式是y=x²-2x；

（2）①∵点E的坐标为（-4，0），
∴EF=4，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴点D的纵坐标为2，
当点D在抛物线上时：x²-2x=2，
解得：x₁=1+$\sqrt{3}$，x₂=1-$\sqrt{3}$，
∴点D落在抛物线上时点D的坐标为：（1+$\sqrt{3}$，2）或（1-$\sqrt{3}$，2）；

②有3种情况：
（Ⅰ）当0≤t≤3时，△DEF与△OBC重叠部分为等腰直角三角形，如图1：S=$\frac{1}{4}$t²；

（Ⅱ）当3＜t≤4时，△DEF与△OBC重叠部分是四边形，如图2：S=-$\frac{1}{4}$t²+3t-$\frac{9}{2}$；

（Ⅲ）当4＜t≤5时，△DEF与△OBC重叠部分是四边形，如图3：S=-$\frac{1}{2}$t²+3t-$\frac{1}{2}$．

点评 此题属于二次函数的综合题．考查了待定系数求二次函数解析式、等腰直角三角形的性质以及动点问题．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．