Question

如图在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，CD∥BA，点P是BC上一点，连接AP，过点P作PE⊥AP交CD于E，探究PE与PA的数量关系．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：计算题

分析：PE=PA，理由为：过点P作PM⊥AC，垂足为M，过点P作PN⊥CD，垂足为N，由三角形ABC为等腰直角三角形，得到∠B=∠ACB=45°，由AB与CD平行，利用两直线平行内错角相等得到∠ACB=∠BCN=45°，利用角平分线定理得到PM=PN，且得到三角形PMC与三角形PNC都为等腰直角三角形，进而确定出∠MPN为直角，再由∠APE为直角，利用等式的性质得到一对角相等，再由一对直角相等，且夹边PM=PN，利用ASA得到三角形APM与三角形EPN全等，利用全等三角形的性质即可得证．

解答：答：PE=PA，理由如下：
证明：过点P作PM⊥AC，垂足为M，过点P作PN⊥CD，垂足为N，
∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵CD∥BA，
∴∠B=∠BCN=45°，
∴∠ACB=∠BCN=45°，
∵PM⊥AC，PN⊥CD，
∴PM=PN，
∵∠PMC=∠PNC=90°，∠ACB=∠BCN=45°，
∴△PMC与△PNC都为等腰直角三角形，
∴∠MPC=∠NPC=45°，即∠MPN=90°，
∵∠APE=90°，
∴∠APE-∠MPE=∠MPN-∠MPE，即∠APM=∠EPN，
在△APM和△EPN中，

∠AMP=∠EPN=90° PM=PN ∠APM=∠EPN

，
∴△APM≌△EPN（ASA），
∴AP=EP．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．