Question

11．如图，已知直线y=ax+b与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于P（x₀，0），与y轴交于点C．
（1）若A，B两点坐标分别为（1，3），（3，y₂），求点P的坐标．
（2）若b=y₁+1，点P的坐标为（6，0），且AB=BP，求A，B两点的坐标．
（3）结合（1），（2）中的结果，猜想并用等式表示x₁，x₂，x₀之间的关系（不要求证明）．

Answer 1

分析 （1）先把A（1，3）），B（3，y₂）代入y=$\frac{k}{x}$求得反比例函数的解析式，进而求得B的坐标，然后把A、B代入y=ax+b利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而即可求得P的坐标；
（2）作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，BG⊥y轴于G，AE、BG交于H，则AD∥BG∥x轴，AE∥BF∥y轴，得出$\frac{CD}{OC}$=$\frac{AD}{OP}$，$\frac{PF}{PE}$=$\frac{BF}{AE}$=$\frac{PB}{PA}$，根据题意得出$\frac{1}{{y}_{1}+1}$=$\frac{{x}_{1}}{6}$，$\frac{PF}{PE}$=$\frac{BF}{AE}$=$\frac{1}{2}$，从而求得B（$\frac{6+{x}_{1}}{2}$，$\frac{1}{2}$y₁），然后根据k=xy得出x₁•y₁=$\frac{6+{x}_{1}}{2}$•$\frac{1}{2}$y₁，求得x₁=2，代入$\frac{1}{{y}_{1}+1}$=$\frac{{x}_{1}}{6}$，解得y₁=2，即可求得A、B的坐标；
（3）合（1），（2）中的结果，猜想x₁+x₂=x₀．

解答 解：（1）∵直线y=ax+b与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于A（1，3），
∴k=1×3=3，
∴y=$\frac{3}{x}$，
∵B（3，y₂）在反比例函数的图象上，
∴y₂=$\frac{3}{3}$=1，
∴B（3，1），
∵直线y=ax+b经过A、B两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=3}\\{3a+b=1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线为y=-x+4，
令y=0，则x=4，
∴P（4，O）；
（2）如图，作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，BG⊥y轴于G，AE、BG交于H，
则AD∥BG∥x轴，AE∥BF∥y轴，
∴$\frac{CD}{OC}$=$\frac{AD}{OP}$，$\frac{PF}{PE}$=$\frac{BF}{AE}$=$\frac{PB}{PA}$，
∵b=y₁+1，AB=BP，
∴$\frac{1}{{y}_{1}+1}$=$\frac{{x}_{1}}{6}$，
$\frac{PF}{PE}$=$\frac{BF}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∴B（$\frac{6+{x}_{1}}{2}$，$\frac{1}{2}$y₁）
∵A，B两点都是反比例函数图象上的点，
∴x₁•y₁=$\frac{6+{x}_{1}}{2}$•$\frac{1}{2}$y₁，
解得x₁=2，
代入$\frac{1}{{y}_{1}+1}$=$\frac{{x}_{1}}{6}$，解得y₁=2，
∴A（2，2），B（4，1）．
（3）根据（1），（2）中的结果，猜想：x₁，x₂，x₀之间的关系为x₁+x₂=x₀．

点评 本题考查了待定系数法求解析式以及反比例函数和一次函数的交点问题，数形结合思想的运用是解题的关键．