Question

3．在△ABC的外接圆⊙O中，△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D，F为$\widehat{AD}$上-
点，且$\widehat{AF}$=$\widehat{BC}$ 连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E．
（1）判断DB与DA的数量关系，并说明理由；
（2）求证：△BCD≌△AFD；
（3）若∠ACM=120°，⊙O的半径为5，DC=6，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）由CD是△ABC的外角平分线，可得∠MCD=∠ACD，又由∠MCD+∠BCD=180°，∠BCD+∠BAD=180°，可得∠MCD=∠BAD，继而证得∠ABD=∠BAD，即可得DB=DA；
（2）由DB=DA，可得$\widehat{DB}$=$\widehat{DA}$，即可得$\widehat{AF}$=$\widehat{BC}$，则可证得CD=FD，BC=AF，然后由SSS判定△BCD≌△AFD；
（3）首先连接DO并延长，交AB于点N，连接OB，由∠ACM=120°，易证得△ABD是等边三角形，并可求得边长，易证得△ACD∽△EBD，然后由相似三角形的对应边成比例，求得DE的长．

解答 解：（1）DB=DA．
理由：∵CD是△ABC的外角平分线，
∴∠MCD=∠ACD，
∵∠MCD+∠BCD=180°，∠BCD+∠BAD=180°，
∴∠MCD=∠BAD，
∴∠ACD=∠BAD，
∵∠ACD=∠ABD，
∴∠ABD=∠BAD，
∴DB=DA；

（2）证明：∵DB=DA，
∴$\widehat{DB}$=$\widehat{DA}$，
∵$\widehat{AF}$=$\widehat{BC}$，
∴AF=BC，$\widehat{CD}$=$\widehat{FD}$，
∴CD=FD，
在△BCD和△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AF}\\{CD=FD}\\{DB=DA}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△AFD（SSS）；

（3）连接DO并延长，交AB于点N，连接OB，
∵DB=DA，
∴$\widehat{DB}$=$\widehat{DA}$，
∴DN⊥AB，
∵∠ACM=120°，
∴∠ABD=∠ACD=60°，
∵DB=DA，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠OBA=30°，
∴ON=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$×5=2.5，
∴DN=ON+OD=7.5，
∴BD=$\frac{DN}{sin60°}$=5$\sqrt{3}$，
∴AD=BD=5$\sqrt{3}$，
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{AF}$，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BF}$，
∴∠ADC=∠BDF，
∵∠ABD=∠ACD，
∴△ACD∽△EBD，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{AD}{DE}$，
∴$\frac{6}{5\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{DE}$，
∴DE=12.5．

点评 此题属于圆的综合题，考查了圆周角定理、弧与弦的关系、等边三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．