Question

2．如图，一次函数y=kx+3的图象分别交x轴、y轴于点C、D两点，与反比例函数 y=$\frac{m}{x}$的图象在第四象限相交于点P，并且PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，已知B（0，-6）且S_△DBP=27．
（1）求上述一次函数与反比例函数的表达式；
（2）设点Q是一次函数y=kx+3图象上的一点，且满足S_△DOQ=2S_△COD，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）令一次函数解析式中x=0，求出对应的y值，确定出D的坐标，得到OD的长，再由已知条件得到OB的长，由OD+OB求出BD的长，在直角三角形BDP中，利用两直角边乘积的一半表示出三角形的面积，将BD及已知的面积代入求出BP的长，确定出P的坐标，由P为一次函数与反比例函数的交点，将P的坐标代入一次函数解析式中求出k的值，确定出一次函数解析式，将P的坐标代入反比例函数解析式中求出m的值，确定出反比例函数解析式；
（2）先求得C的坐标，进而根据S_△DOQ=2S_△COD，求得MQ=2OC=4，然后分两种情况讨论求得．

解答 解：（1）∵一次函数y=kx+3的图象交y轴于点D，
∴OD=3．
∵B（0，-6），
∴BD=3+6=9，
∵S_△DBP=27，
∴$\frac{1}{2}$•BD•BP=27，
∴BP=6，
∴P（6，-6）；
把点P的坐标代入y=kx+3得：k=-$\frac{3}{2}$，
∴一次函数的解析式为：y=-$\frac{3}{2}$x+3，
把点P的坐标代入y=$\frac{m}{x}$得：m=-36．
∴反比例函数的表达式是y=-$\frac{36}{x}$；
（2）∵一次函数y=-$\frac{3}{2}$x+3的图象交x轴于点C，
∴把y=0代入求出x=2，即点C的坐标是（2，0），OC=2，
分为两种情况：当Q在射线DC上时，过Q作QM⊥y轴于M．
∵△DOQ的面积是△COD面积的2倍，
∴$\frac{1}{2}$OD•MQ=2×$\frac{1}{2}$OD•DC，
∴MQ=2OC=4，
把x=4代入y=-$\frac{3}{2}$x+3得：y=-3，即此时Q（4，-3），
当Q在射线CD上时，同法求出QM=4，
把x=-4代入y=-$\frac{3}{2}$x+3得：y=9，即此时Q（-4，9），
∴Q的坐标是（-4，9）或（4，-3）．

点评 此题考查了一次函数与反比例函数的交点，以及利用待定系数法求函数解析式，其中利用待定系数法确定出两函数解析式是求两函数交点的关键．