Question

13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，且∠B=2∠A，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，EF=FC．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）设⊙O的半径为2，且AC=CE，求AM的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，如图，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，则利用∠B=2∠A可计算出∠B=60°，∠A=30°，易得∠E=30°，接着由EF=FC得到∠ECF=∠E=30°，所以∠FCA=60°，加上∠OCA=∠A=30°，所以∠FCO=∠FCA+∠ACO=90°，于是可根据切线的判定得到FC是⊙O的切线；
（2）利用含30度的直角三角形三边的关系．在Rt△ABC中可计算出BC=$\frac{1}{2}$AB=2，AC=$\sqrt{3}$BC=2$\sqrt{3}$，则CE=2$\sqrt{3}$，所以BE=BC+CE=2+2$\sqrt{3}$，然后在Rt△BEM中计算出BM=$\frac{1}{2}$BE=1+$\sqrt{3}$，
再计算AB-BM的值即可．

解答 （1）证明：连接OC，如图，
∵⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，
∴AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠B=2∠A，
∴∠B=60°，∠A=30°，
∵EM⊥AB，
∴∠EMB=90°，
在Rt△EMB中，∠B=60°，
∴∠E=30°，
又∵EF=FC，
∴∠ECF=∠E=30°，
又∵∠ECA=90°，
∴∠FCA=60°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠FCO=∠FCA+∠ACO=90°，
∴OC⊥CF，
∴FC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=2，AC=$\sqrt{3}$BC=2$\sqrt{3}$，
∵AC=CE，
∴CE=2$\sqrt{3}$，
∴BE=BC+CE=2+2$\sqrt{3}$，
在Rt△BEM中，∠BME=90°，∠E=30°
∴BM=$\frac{1}{2}$BE=1+$\sqrt{3}$，
∴AM=AB-BM=4-1-$\sqrt{3}$=3-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．