Question

19．如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一直线上，且AD=3，DE=1，连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H．
（1）求sin∠EAC的值．
（2）求线段AH的长．

Answer 1

分析 （1）作EM⊥AC于M，根据sin∠EAM=$\frac{EM}{AE}$求出EM、AE即可解决问题．
（2）先证明△GDC≌△EDA，得∠GCD=∠EAD，推出AH⊥GC，再根据S_△AGC=$\frac{1}{2}$•AG•DC=$\frac{1}{2}$•GC•AH，即可解决问题．

解答 解：（1）作EM⊥AC于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，AD=DC=3，∠DCA=45°，
∴在RT△ADE中，∵∠ADE=90°，AD=3，DE=1，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
在RT△EMC中，∵∠EMC=90°，∠ECM=45°，EC=2，
∴EM=CM=$\sqrt{2}$，
∴在RT△AEM中，sin∠EAM=$\frac{EM}{AE}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（2）在△GDC和△EDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=DE}\\{∠GDC=∠EDA}\\{DC=DA}\end{array}\right.$，
∴△GDC≌△EDA，
∴∠GCD=∠EAD，GC=AE=$\sqrt{10}$，
∵∠DAE+∠AED=90°，∠DEA=∠CEH，
∴∠DCG+∠HEC=90°，
∴∠EHC=90°，
∴AH⊥GC，
∵S_△AGC=$\frac{1}{2}$•AG•DC=$\frac{1}{2}$•GC•AH，
∴$\frac{1}{2}$×4×3=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{10}$×AH，
∴AH=$\frac{6}{5}$$\sqrt{10}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形面积等知识，添加常用辅助线是解决问题的关键，学会用面积法求线段，属于中考常考题型．