Question

如图，在平台上用直径为100mm的两根圆钢棒嵌在大型工件的两侧，测量大的圆形工件的直径，设两圆钢棒的外侧的距离为xmm，工件的直径为Dmm．
（1）求出D（mm）与x（mm）之间的函数关系式；
（2）当图形工件的直径D小于圆钢棒的直径时，上面所求得的D与x的函数关系式还是否仍然适用？请说明理由．

Answer 1

考点：相切两圆的性质,勾股定理,切线的性质

专题：计算题

分析：（1）设三圆的圆心分别为A、B、C，连接AB，则AB过切点E，连接AC，则AC过切点F，连接BC，AN，AN交BC于M，由题意得出AB=AC=50+

D

2

，BC=x-（50+50）=x-100，AN=

D

2

-50，在△ABM中根据勾股定理得出D和x的方程，求出即可；
（2）根据（1）结合图形仍能得出函数解析式，即可得出答案．

解答：（1）解：
如图设三圆的圆心分别为A、B、C，连接AB，则AB过切点E，连接AC，则AC过切点F，连接BC，AN，AN交BC于M，
由题意得：AB=AC=50+

D

2

，BC=x-（50+50）=x-100，AN=

D

2

-50，
∵AC=AB，AM⊥BC，
∴BM=CM=

1

2

（x-100）=

1

2

x-50，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：AB²=AM²+BM²，
∴(50+

D

2

)2=(

D

2

-50)2+(

1

2

x-50)2，
即D=

1

400

x²-

1

2

x+25．

（2）解：当图形工件的直径D小于圆钢棒的直径时，上面所求得的D与x的函数关系式能仍然适用，
因为那样时，三圆同时与平台相切，有两大圆都与小圆相切时，得出的方程与（1）中的方程相同，
所有上面所求得的D与x的函数关系式能仍然适用．

点评：本题考查了相切两圆的性质，切线的性质，勾股定理等知识点的应用，能根据题意得出方程是解此题的关键，主要考查学生的观察能力和构造直角三角形的能力，题目比较典型，有一定的难度．