Question

如图，已知二次函数y=（x+m）²+k-m²的图象与x轴交于两不同点A（x₁，0）、B（x₂，0），与y轴的交点为C．则△ABC的外接圆与y轴的另一个交点D的坐标是

 

．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：令x=0，代入抛物线解析式，即求得点C的坐标．由求根公式求得点A、B的横坐标，得到点A、B的横坐标的和与积，由相交弦定理求得OD的值，从而得到点D的坐标．

解答：解：易求得点C的坐标为（0，k）
由题设可知x₁，x₂是方程（x+m）²+k-m²=0即x²+2mx+k=0的两根，
所以x=

-2m± (-2m)2-4k

2

，
所以x₁+x₂=-2m，x₁•x₂=k，
如图，∵⊙P与y轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，
设它们的交点为点O，连接DB，
∴△AOC∽△DOB，则OD=

OA×OB

OC

=

|x1x2|

|k|

=

|k|

|k|

=1，
由题意知点C在y轴的负半轴上，从而点D在y轴的正半轴上，
所以点D的坐标为（0，1）．
故答案为：（0，1）．

点评：本题考查了一元二次方程的求根公式，根与系数的关系，相交弦定理，如何表示OD的长是本题中解题的关键．