Question

如图，以△ABC的直角边AB为直径的半圆O与斜边AC交于点D，E是BC边的中点．若AD、AB的长是方程x²-6x+8=0的两个根，则图中阴影部分的面积为

 

．

Answer 1

考点：扇形面积的计算,解一元二次方程-因式分解法,切线的判定与性质

专题：计算题

分析：先利用因式分解法解方程求出AD、AB的长，然后连接OD、BD、OE，并判定△AOD是等边三角形，根据直径所对的圆周角是直角可得BD⊥AC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=

1

2

BC=BE，再根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上可得OE垂直平分BD，然后根据勾股定理求出BD的长，再根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，从而得到BE的长度，最后根据阴影部分的面积等于四边形OBED的面积减去扇形BOD的面积，列式进行计算即可求解．

解答：解：x²-6x+8=0，
（x-2）（x-4）=0，
∴x-2=0，x-4=0，
解得x₁=2，x₂=4，
∴AD=2，AB=4，
∵AB是直径，
∴AO=BO=

1

2

AB=2，
连接OD，则AO=OD=AD=2，
∴△AOD是等边三角形，
连接BD，则BD⊥AC，
∵E是BC边的中点，
∴DE=BE=

1

2

BC，
连接OE，则OE是线段BD的垂直平分线，
在Rt△AOD中，BD=

AB2+AD2

=

42-22

=2

3

，
∵∠A=∠A，∠ADB=∠ABC=90°，
∴△ABC∽△ADB，
∴

BC

BD

=

AB

AD

，
即

BC

2 3

=

4

2

，
解得BC=4

3

，
BE=

1

2

BC=2

3

，
∴S_{四边形OBED}=2S_△OBE=2×

1

2

×2×2

3

=4

3

，
又∠BOD=180°-∠AOD=180°-60°=120°，
∴S_扇形BOD=

120°•π•22

360°

=

4

3

π，
∴阴影部分的面积=S_{四边形OBED}-S_扇形BOD=4

3

-

4

3

π．
故答案为：4

3

-

4

3

π．

点评：本题主要考查了扇形的面积计算，一元二次方程的求解，切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，根据方程的解判断出△AOD是等边三角形是解题的关键．