Question

设二次函数y=x²+（a-2）x-2a+3的图象为C，函数y=ax的图象为l．
（1）当a=3时，求C与l的交点坐标；
（2）求证图象C恒过定点，并求出这个定点．
（3）若图象C恒在图象l的上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数与不等式（组）,二次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：（1）将a的值代入求出两函数解析式，再联立两函数解析式求解即可；
（2）整理成关于a的形式，再根据恒过定点与a的值无关求出x的值，然后求出y的值，再写出定点坐标即可；
（3）求出两函数图象没有交点时的a的取值范围即可．

解答：解：（1）a=3时，y=x²+x-3，y=3x，
联立

y=x2+x-3 y=3x

，
解得

x1=-1 y1=-3

，

x2=3 y2=9

，
所以，C与l的交点坐标为（-1，-3），（3，9）；

（2）y=x²+（a-2）x-2a+3=x²+a（x-2）-2x+3，
∵图象C恒过定点，
∴x-2=0，
∴x=2，
y=2²-2×2+3=3，
∴函数图象C恒过定点（2，3）；

（3）联立两函数解析式消掉y得，x²+（a-2）x-2a+3=ax，
整理得，x²-2x-2a+3=0，
∵图象C恒在图象l的上方，
∴方程没有实数解，
∴△=（-2）²-4×（-2a+3）＜0，
解得a＜1，
∴实数a的取值范围是a＜1．

点评：本题考查了二次函数与不等式组，二次函数图象上点对点坐标特征，难点在于理解（2）恒过定点与a的值无关，（3）根据二次函数与一次函数的性质判断出两个函数没有交点时的情况即为所求．