Question

4．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F．
（1）求证：EF⊥AB；
（2）若∠C=30°，EF=$\sqrt{6}$，求EB的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，AD，只要证明OD是△ABC中位线即可解决问题．
（2）首先证明AE是△ODF中位线，在Rt△AEF中求出AE，再求出OD，根据AB=2OD，求出AB即可问题．

解答 （1）证明：连接OD，AD，

∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°．
又∵AB=AC，
∴CD=DB．又CO=AO，
∴OD∥AB．
∵FD是⊙O的切线，
∴OD⊥DF．∴FE⊥AB．

（2）解：∵∠C=30°，
∴∠AOD=60°，
在Rt△ODF中，∠ODF=90°，
∴∠F=30°，
∴OA=OD=$\frac{1}{2}$OF，
在Rt△AEF中，∠AEF=90°，∠F=30°
∵EF=$\sqrt{6}$，
∴AE=EF•tan30°=$\sqrt{2}$．
∵OD∥AB，OA=OC=AF，
∴OD=2AE=2$\sqrt{2}$，AB=2OD=4$\sqrt{2}$，
∴EB=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理/锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．