Question

12．如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上．

（1）在图中以AB为边画Rt△ABC，点C在小正方形的格点上，使∠BAC=90°，且tan∠ACB=$\frac{2}{3}$；
（2）在（1）的条件下，在图中画以EF为边且面积为3的△DEF，点D在小正方形的格点上，使∠CBD=45°，连接CD，直接写出线段CD的长．

Answer 1

分析 （1）如图，作∠BAC=90°，且边AC=3$\sqrt{2}$，才能满足条件；
（2）作DE=2，连接DF，则△DEF是以EF为边且面积为3的三角形，连接BD，CD，则∠CBD=45°．

解答 解：（1）如图，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
AC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{{5}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{26}$，
∴AB²+AC²=（2$\sqrt{2}$）²+（3$\sqrt{2}$）²=26，
BC²=（$\sqrt{26}$）²=26，
∴AB²+AC²=BC²，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，
tan∠ACB=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{2}{3}$；
（2）如图，∵S_△DEF=$\frac{1}{2}$×2×3=3，
∵BC=$\sqrt{26}$，CD=$\sqrt{{5}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{26}$，BD=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{52}$，
∴BC²+CD²=52，BD²=52，
∴BC²+CD²=BD²，
∴∠BCD=90°，BC=CD，
∴∠CBD=45°，
∴CD=$\sqrt{26}$．

点评 本题是三角形的作图题，考查了等腰直角三角形的性质和判定及勾股定理及其逆定理的运用，并按条件作出三角形；本题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理．