Question

12．以x为自变量的二次函数y=x²-2（b-2）x+b²-1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（　　）

• A． b≥$\frac{5}{4}$
• B． b≥1或b≤-1
• C． b≥2
• D． 1≤b≤2

Answer 1

分析 由于二次函数y=x²-2（b-2）x+b²-1的图象不经过第三象限，所以抛物线的顶点在x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口方向向上，由此可以确定抛物线与x轴有无交点，抛物线与y轴的交点的位置，由此即可得出关于b的不等式组，解不等式组即可求解．

解答 解：∵二次函数y=x²-2（b-2）x+b²-1的图象不经过第三象限，
∵二次项系数a=1，
∴抛物线开口方向向上，
当抛物线的顶点在x轴上方时，
则b²-1≥0，△=[2（b-2）]²-4（b²-1）≤0，
解得b≥$\frac{5}{4}$；
当抛物线的顶点在x轴的下方时，
设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2（b-2）＞0，b²-1＞0，
∴△=[2（b-2）]²-4（b²-1）＞0，①
b-2＞0，②
b²-1＞0，③
由①得b＜$\frac{5}{4}$，由②得b＞2，
∴此种情况不存在，
∴b≥$\frac{5}{4}$，
故选A．

点评 此题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是会根据图象的位置得到关于b的不等式组解决问题．