Question

3．如图，把含30°角的三角板放置在如图所示的平面直角坐标系中，∠AOB=90°，∠B=30°，OA=2，斜边AB∥x轴，点A在双曲线上．
（1）求双曲线的解析式；
（2）把三角板AOB绕点A顺时针旋转，使得点O的对应点C落在x轴的负半轴上的对应线段为AD，试判断点D是否在双曲线上？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图，先求出∠AOE=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系求出AE和OE，从而得到A点坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式；
（2）利用旋转的性质得AC=AO，∠CAO=∠BAD，则可判断△AOC为等边三角形，得到∠CAO=∠BAD=60°，于是可判断点D在AC的延长线上，然后通过证明点A与点D关于原点对称得到点D是在双曲线上．

解答 解：（1）设AB与y轴相交于点E．
∵AB∥x轴，
∴∠AEO=90°
在Rt△AEO中，∠A=90°-30°=60°，
$OE=OA•sin60°=2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}$，$AE=OA•cos60°=2×\frac{1}{2}=1$．
∴点A的坐标为$（{-1，\;\sqrt{3}}）$，
设双曲线的解析式为$y=\frac{k}{x}（{k≠0}）$，$\sqrt{3}=\frac{k}{-1}$，$k=-\sqrt{3}$
∴双曲线的解析式为$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{x}$；
（2）点D是在双曲线上．理由如下：
∵AB∥x轴，
∴∠AOC=∠BAO=60°
∵△ACD是由△AOB绕点A旋转得到的，
∴AO=AC，AB=AD
∴△AOC是等边三角形，
∴∠CAO=60°，即旋转角∠BAD=∠CAO=60°，
又∠BAO=60°，
∴点O在AD上，
在Rt△AOB中，∠B=30°，AB=2AO，
∴AD=2AO，AO=OD，
∴点D与点A关于点O中心对称．
∴点D在双曲线上．

点评 本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析式y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）；再把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；接着解方程，求出待定系数；然后写出解析式．解决（2）小题的关键是确定旋转角为60°．