Question

16．已知，△ABC中，BE⊥AC于G，CD⊥AB于F，BA=BE，CA=CD，以下结论：①∠D=∠E；②DF=GE；③$\frac{AF}{AG}$=$\frac{AC}{AB}$；④$\frac{DF}{CF}$=$\frac{EG}{BG}$，其中正确的有①③④（填上你认为所有正确结论的序号）．

Answer 1

分析 BE⊥AC于G，CD⊥AB于F，得到∠AFC=∠AGB=90°，于是得到∠ABG=∠ACD，根据等腰三角形的性质得到∠D=∠E，故①正确；根据∠AFD=∠AGE=90°，∠D=∠E，证得△ADF∽△AEG，但不全等，于是得到DF与GE不一定相等，故②错误；通过△AFC∽△ABG，推出$\frac{AF}{AG}=\frac{AC}{AB}$=$\frac{CF}{BG}$，故③正确；由于△ADF∽△AEG，得出$\frac{DF}{GE}=\frac{AF}{AG}$，于是得到$\frac{DF}{CF}$=$\frac{EG}{BG}$，故④正确．

解答 解：∵BE⊥AC于G，CD⊥AB于F，
∴∠AFC=∠AGB=90°，
∴∠ABG+∠FAG=∠ACD+∠FAG=90°，
∴∠ABG=∠ACD，
∵BA=BE，CA=CD，
∴∠D=∠DAC=$\frac{180°-∠ACD}{2}$，∠E=∠BAE=$\frac{180°-∠ABG}{2}$，
∴∠D=∠E，故①正确；
∵∠AFD=∠AGE=90°，∠D=∠E，
∴△ADF∽△AEG，
∴DF与GE不一定相等，故②错误；
∵∠AFC=∠AGB，∠FAG=∠FAG，
∴△AFC∽△ABG，
∴$\frac{AF}{AG}=\frac{AC}{AB}$=$\frac{CF}{BG}$，故③正确；
∵△ADF∽△AEG，
∴$\frac{DF}{GE}=\frac{AF}{AG}$，
∴$\frac{DF}{CF}$=$\frac{EG}{BG}$，故④正确．
故答案为：①③④．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．