Question

8．（1）如图1，AB，CD是⊙O中的两条弦，它们相交于点P，求证：PA•PB=PC•PD．
（2）如图2，点P在⊙O内，⊙O的半径为5cm，OP=3cm，过点P任意画一条弦交⊙O于A，B两点，根据（1）中的结论计算PA•PB的值．

Answer 1

分析 （1）连接AC、BD，根据圆周角定理得到∠C=∠B，∠A=∠D，证明△ACP∽△DBP，根据相似三角形的性质计算即可；
（2）根据相交弦定理计算即可．

解答 （1）证明：连接AC、BD，
由圆周角定理得，∠C=∠B，∠A=∠D，
∴△ACP∽△DBP，
∴$\frac{AP}{PD}$=$\frac{PC}{PB}$，
∴PA•PB=PC•PD；
（2）延长CO交⊙O于D，
则PD=5+3=8，PC=5-3=2，
由相交弦定理得，PA•PB=PC•PD=8×2=16．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理、相交弦定理的应用，掌握圆周角定理、相交弦定理是解题的关键．