Question

3．如图，已知直线y=$\frac{3}{4}$x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB，则△PAB面积的最大值是$\frac{21}{2}$．

Answer 1

分析 过点C作CD⊥AB于D，延长DP交⊙C于另一点P′，此时△P′AB的面积最大，将x=0、y=0代入y=$\frac{3}{4}$x-3中求出与之相对应的y、x的值，进而可得出点A、B的坐标，由∠ABO=∠CBD、∠AOB=∠CDB=90°即可证出△AOB∽△CDB，再根据相似三角形的性质求出CD的长度，将其+1即可得出DP′的长度，利用三角形的面积公式即可求出△PAB面积的最大值．

解答 解：过点C作CD⊥AB于D，延长DP交⊙C于另一点P′，此时△P′AB的面积最大，如图所示．
当x=0时，y=-3，
∴点B（0，-3）；
当y=$\frac{3}{4}$x-3=0时，x=4，
∴点A（4，0）．
∵点C（0，1），
∴BC=1-（-3）=4，AO=4，BO=3，AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=5．
∵∠ABO=∠CBD，∠AOB=∠CDB=90°，
∴△AOB∽△CDB，
∴$\frac{CD}{AO}=\frac{BC}{BA}$，
∴CD=$\frac{BC•AO}{BA}$=$\frac{16}{5}$，
∴DP′=CD+CP′=$\frac{16}{5}$+1=$\frac{21}{5}$．
∴S_△P′AB=$\frac{1}{2}$AB•P′D=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{21}{5}$=$\frac{21}{2}$．
故答案为：$\frac{21}{2}$．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质以及三角形的面积，找出△PAB面积取最大值时点P的位置是解题的关键．本题属于中档题，难度不大，利用相似三角形的性质或者面积法求出CD的长度是解决此题的突破点．