Question

3．如图，E是正方形ABCD的边BC上的一个动点（E与B、C两点不重合），过点E作射线EP⊥AE，在射线EP上截取线段EF，使得EF=AE，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．
（1）求证：FG=BE；
（2）探索点F是否在∠DCG的平分线上，并说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）根据同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AE=EF，利用AAS得到三角形ABE与三角形EFG全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）由（1）得到BC=AB=EG，利用等式的性质得到BE=CG，根据FG=BE，等量代价得到FG=CG，即三角形FCG为等腰直角三角形，得到∠FCG=45°，即可得证．

解答 （1）证明：∵EP⊥AE，
∴∠AEB+∠GEF=90°，
又∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠GEF=∠BAE，
又∵FG⊥BC，
∴∠ABE=∠EGF=90°，
在△ABE与△EGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠EGF}\\{∠BAE=∠GEF}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△EGF（AAS），
∴FG=BE；
（2）解：点F在∠DCG的平分线上，理由如下：
连接CF，如图：

由（1）知：BC=AB=EG，
∴BC-EC=EG-EC，
∴BE=CG，
又∵FG=BE，
∴FG=CG，
又∵∠CGF=90°，
∴∠FCG=45°=$\frac{1}{2}$∠DCG，
∴CF平分∠DCG．

点评 此题属于四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．