Question

15．如图，已知正△ABC的边长为9，⊙O是它的内切圆，则图中阴影部分的面积为$\frac{27\sqrt{3}-9π}{4}$．（结果保留π）

Answer 1

分析 要求阴影部分的面积就要明确S_阴影=$\frac{1}{3}$S_△ABC-$\frac{1}{3}$S_⊙O，然后依面积公式计算即可．

解答 解：∵△ABC是正三角形，⊙O是它的内切圆，
∴△AOB的面积是正△ABC的$\frac{1}{3}$，扇形的面积是圆面积的$\frac{1}{3}$，
阴影部分的面积=$\frac{1}{3}$S_△ABC-$\frac{1}{3}$S_⊙O，
∵正△ABC的边长为9，
则正三角形的高为$\sqrt{{9}^{2}-4．{5}^{2}}$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
⊙O的半径=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴S_阴影=$\frac{1}{3}$S_△ABC-$\frac{1}{3}$S_⊙O=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$×9×$\frac{9\sqrt{3}}{2}$-$\frac{27}{4}$π）=$\frac{27\sqrt{3}-9π}{4}$；
故答案为：$\frac{27\sqrt{3}-9π}{4}$．

点评 本题考查了内切圆的性质、正三角形的性质、勾股定理、三角形面积公式及圆的面积公式；根据题意得出阴影部分的面积=$\frac{1}{3}$S_△ABC-$\frac{1}{3}$S_⊙O是解决问题的关键．