Question

12．如图，把Rt△ABC的斜边AB放在直线L上，按顺时针方向在L上转动两次使它转到△DEF的位置，设BC=$\sqrt{3}$，AC=1，则点A运动到点D的位置时，点A经过的路线长是多少？点A经过的路线与直线L所围成的面积是多少？

Answer 1

分析 先根据特殊角的三角函数值得出∠ABC的度数，进而可得出∠CBF的度数，由勾股定理求出AB的长，根据弧长公式及扇形的面积公式即可得出结论．

解答 解：∵BC=$\sqrt{3}$，AC=1，
∴tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AB=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴∠ABC=30°，
∴∠CBF=150°，
∴点A经过的路线长=$\frac{150π×2}{180}$+$\frac{90π×1}{180}$=$\frac{13π}{6}$．
∴点A经过的路线与直线L所围成的面积=$\frac{150π×4}{360}$+$\frac{90π×1}{360}$=$\frac{23π}{12}$．

点评 本题考查的是轨迹，熟记弧长公式和扇形的面积公式是解答此题的关键．